15. Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$. а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$, $\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка…$ Фото задания

15. Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$. а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$, $\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.

Accepted Answer

а) Пусть $H$ — середина $AB$, а высота треугольника из $C$ опускается на $AB$ в точку $H$, поскольку $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Ортогональная проекция точки $M$, середины $BC$, на $AB$ — середина $BH$. Она делит $AB$ в отношении $3:1$ от вершины $A$, поэтому совпадает с $P$. Значит, $PM\perp AB$.

Так как призма прямая, отрезок $MQ$ параллелен боковым рёбрам и перпендикулярен плоскости основания, следовательно, $MQ\perp AB$. Прямая $PQ$ лежит в плоскости, натянутой на перпендикулярные $AB$ отрезки $PM$ и $MQ$, поэтому $PQ\perp AB$. Поскольку $PQ$ — нормаль к $\alpha$, направление $AB$ параллельно плоскости $\alpha$. При этом $M\notin AB$, так что $AB$ не лежит в $\alpha$; следовательно, $AB\parallel\alpha$.

б) Из равнобедренности $BH=\frac{AB}{2}=6$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ имеем $\cos\angle ABC=\frac{BH}{BC}=\frac{3}{5}$, поэтому $BC=10$, а $CH=\sqrt{10^2-6^2}=8$. Так как $M$ — середина $BC$, а его проекция на $AB$ совпадает с $P$, получаем $PM=\frac{CH}{2}=4$. Кроме того, $MQ=AA_1=5$.

Поскольку $PM\perp MQ$, треугольник $PMQ$ прямоугольный при $M$. Пусть $N=PQ\cap\alpha$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $PQ$ и проходит через $M$, поэтому $MN\perp PQ$: это высота к гипотенузе прямоугольного треугольника $PMQ$. По свойству катета и гипотенузы:

$\frac{PN}{NQ}=\frac{PM^2}{MQ^2}=\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}$.

Ответ: а) $AB\parallel\alpha$; б) $PN:NQ=16:25$, где $N=PQ\cap\alpha$.