14. а) Решите уравнение $8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. а) Решите уравнение $8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5$. б) Укажите корни этого уравнения,…$ Фото задания

14. а) Решите уравнение $8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

а) Применим формулу $8\sin^2 A=4-4\cos 2A$:

$4-4\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5$.

Используем $\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x$. Подстановка приводит к сокращению слагаемых с $\cos 2x$:

$4-2\sin 2x=5$, значит $\sin 2x=-\frac{1}{2}$.

Отсюда $2x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. Следовательно,

$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n$ или $x=\frac{7\pi}{12}+\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.

б) Из первой серии на указанном отрезке подходит $n=-3$: $x=-\frac{37\pi}{12}$. Из второй серии подходит $n=-4$: $x=-\frac{41\pi}{12}$.

Ответ: а) $x=-\frac{\pi}{12}+\pi n$ или $x=\frac{7\pi}{12}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$; б) $-\frac{41\pi}{12},-\frac{37\pi}{12}$.

14. а) Решите уравнение \(8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right]\).

Ответ: