14. а) Решите уравнение \(8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5\). [Данные видимой ниже части задания обрезаны]

Используем тождество \(8\sin^2 A=4-4\cos 2A\):

\(4-4\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5\).

Раскрываем косинус суммы: \(\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x\). После подстановки слагаемые с \(\cos 2x\) сокращаются, и получаем \(-2\sin 2x=1\), то есть \(\sin 2x=-\frac{1}{2}\).

Отсюда \(2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\) или \(2x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\). Следовательно, \(x=\frac{7\pi}{12}+\pi n\) или \(x=\frac{11\pi}{12}+\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\).

Нижняя часть задания обрезана; если там требуется выбрать корни на указанном промежутке, для этого нужен полный текст промежутка.

Ответ: \(x=\frac{7\pi}{12}+\pi n\) или \(x=\frac{11\pi}{12}+\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\).