14. а) Решите уравнение \(\cos x(3 g x-\cos x)=3\sin^2 x\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([2;8]\).

а) Область определения: \(\cos x\ne 0\).

Раскроем скобки, используя \(\cos x\cdot g x=\sin x\):

\(3\sin x-\cos^2x=3\sin^2x\).

Подставим \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(3\sin x-(1-\sin^2x)=3\sin^2x\), поэтому \(2\sin^2x-3\sin x+1=0\).

Разложим на множители: \((2\sin x-1)(\sin x-1)=0\). Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\). Значение \(\sin x=1\) даёт \(\cos x=0\), что не входит в область определения, поэтому эти значения не являются корнями исходного уравнения.

При \(\sin x=\frac12\): \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На промежутке \([2;8]\) подходят значения \(\frac{5\pi}{6}\), \(\frac{13\pi}{6}\) и \(\frac{17\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\).