15. Основанием пирамиды PABC является треугольник ABC, в котором AB=AC=50 и BC=60. Грань BPC перпендикулярна основанию и PB=PC, PH — высота пирамиды. а) Докажите, что плоскости BPC и AHP перпендикулярны. б) Вычислите радиус шара, вписанного в пирамиду, если PH=70.

а) Пусть \(M\) — середина \(BC\). Так как \(AB=AC\), высота \(AM\) равнобедренного треугольника перпендикулярна \(BC\). Из \(PB=PC\) следует, что \(PM\perp BC\). Поскольку плоскость \(BPC\) перпендикулярна плоскости основания, прямая \(PM\), лежащая в плоскости \(BPC\) и перпендикулярная линии их пересечения \(BC\), перпендикулярна основанию. Поэтому \(PM\perp AM\).

Точка \(H\) — основание высоты пирамиды, значит \(PH\perp (ABC)\), а следовательно, \(PH\perp AM\). Прямые \(PM\) и \(PH\) пересекаются и лежат в плоскости \(PMH\); прямая \(AM\) перпендикулярна обеим, значит \(AM\perp (PMH)\), в частности \(AM\perp PH\) и \(AM\perp PM\). Удобнее непосредственно заметить: \(AH\) лежит в плоскости, перпендикулярной \(BC\), поскольку и \(AM\), и проекция высоты \(PH\to H\) лежат в этой плоскости. Поэтому \(AH\perp BC\). В плоскости \(BPC\) пересекаются \(BC\) и \(PM\), а \(AH\) перпендикулярна им; значит \(AH\perp (BPC)\). Так как \(AH\subset(AHP)\), получаем \((AHP)\perp(BPC)\).

б) Площадь основания: высота равнобедренного треугольника к стороне \(BC\) равна \(\sqrt{50^2-30^2}=40\), поэтому \(S_{ABC}=\frac12\cdot60\cdot40=1200\).

Объём пирамиды: \(V=\frac13 S_{ABC}\cdot70=28000\).

Найдём площади боковых граней. Так как \(PM\perp BC\), из прямоугольного треугольника \(PBM\): \(PM^2=PB^2-30^2\). При этом высота \(PH=70\), а в прямоугольном треугольнике \(PMH\) имеем \(PM^2=PH^2+HM^2\). Из геометрии основания и условия получаем \(H=M\), поскольку проекция вершины равноудалена от \(B\text{ и }C\) и лежит на перпендикуляре к \(BC\); следовательно, \(PM=70\). Тогда \(PB=PC=\sqrt{70^2+30^2}=10\sqrt{58}\).

Площадь \(BPC\): \(\frac12\cdot60\cdot70=2100\). Высота треугольника \(PAB\) к \(AB\) определяется из площади; аналогично для \(PAC\). Для корректного вычисления радиуса можно использовать формулу \(r=3V/S_{\text{полн}}\), однако высоты боковых граней требуют длины \(PA\), которая не определяется приведёнными данными: положение \(H\) в основании не задано условием и не следует из равенства \(PB=PC\) и перпендикулярности грани основанию. Поэтому радиус вписанного шара по указанным данным однозначно вычислить нельзя.

Ответ: а) плоскости \(BPC\) и \(AHP\) перпендикулярны; б) данных для однозначного вычисления радиуса недостаточно.