14. а) Решите уравнение \(\frac{\sqrt{3}}{\sin x}=4\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\). б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{21\pi}{4};-\frac{17\pi}{4}\right]\).

а) Область допустимых значений: \(\sin x\ne 0\). Используем тождество \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x\):

\(\frac{\sqrt{3}}{\sin x}=-4\cos x\), откуда \(\sqrt{3}=-4\sin x\cos x=-2\sin 2x\).

Следовательно, \(\sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(2x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Поэтому

\(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Эти значения не нарушают условие \(\sin x\ne0\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{21\pi}{4};-\frac{17\pi}{4}\right]\) из первого семейства подходит \(k=-5\): \(x=-\frac{31\pi}{6}\) не входит в отрезок, а при \(k=-4\) получаем \(-\frac{25\pi}{6}\), который входит. Из второго семейства подходят значения при \(k=-5,-4\): \(-\frac{16\pi}{3}\) и \(-\frac{13\pi}{3}\). Проверка границ и всех целых \(k\) даёт:

Ответ: а) \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{16\pi}{3}, -\frac{25\pi}{6}, -\frac{13\pi}{3}\).