15. В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно, причём \(B_1K:KC_1=2:3\). Четырёхугольник \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5. а) Докажите, что точка \(N\) — середина ребра \(BC\). б) Найдите площадь трапеции \(AMKN\), если объём призмы равен 45, а её высота равна 3.

а) По данному условию трапеция равнобедренная, но её основание, боковые стороны и соотношение \(B_1K:KC_1=2:3\) не задают однозначно положения \(M\) и \(N\) без дополнительных геометрических сведений о сторонах параллелограмма и связи точек с основаниями трапеции. Поэтому утверждение, что \(N\) — середина \(BC\), из видимого условия строго доказать нельзя.

б) Площадь основания призмы равна \(V/H=45/3=15\). Однако площадь трапеции нельзя определить только по площади основания параллелограмма и длинам её оснований 4 и 5: необходима высота самой трапеции. Высота призмы 3 не является автоматически высотой трапеции \(AMKN\).

Для полного решения нужны дополнительные данные или недостающая часть условия/чертёж, определяющие геометрию трапеции и её высоту.