14. а) Решите уравнение sin 9x + sin 7x + sin 5x + sin 3x = 0. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [−π; −π/2].

а) Сгруппируем слагаемые и применим формулы суммы синусов:

\[\sin 9x+\sin 7x+\sin 5x+\sin 3x=2\sin 8x\cos x+2\sin 4x\cos x.\]

Используем \(\sin 8x+\sin 4x=2\sin 6x\cos 2x\):

\[2\cos x(\sin 8x+\sin 4x)=4\sin 6x\cos 2x\cos x=0.\]

Следовательно, \(\sin 6x=0\), или \(\cos 2x=0\), или \(\cos x=0\). Отсюда

\[x=\frac{\pi k}{6},\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

б) На отрезке \([-\pi;-\frac{\pi}{2}]\) из этих серий получаем:

\[x\in\left\{-\pi,-\frac{5\pi}{6},-\frac{3\pi}{4},-\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{2}\right\}.\]