14. а) В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны AC за точку A взята точка M так, что MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найдите отношение BF/FA.

Пусть A=(0,0), B=(1,0), C=(x,y). Тогда M=(-x,-y), поскольку MA=AC.

Так как NC=3BN, точка N делит BC в отношении BN:NC=1:3, поэтому N=((3+x)/4,y/4).

Точка на прямой MN имеет вид M+t(N-M). Для пересечения с AB её вторая координата равна нулю:

\(-y+t\left(\frac{y}{4}+y\right)=0\), откуда \(t=\frac45\).

Первая координата точки пересечения равна \(-x+\frac45\left(\frac{3+x}{4}+x\right)=\frac35\). Значит, AF=3/5, BF=2/5.

Ответ: \(\frac{BF}{FA}=\frac{2/5}{3/5}=\frac23\).