16. В треугольнике ABC, площадь которого равна 5, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK=2:3, а на стороне AC — точка L, делящая её в отношении AL:AC=5:8. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние 1. Найти длину стороны AB.

Пусть высота треугольника ABC к стороне AB равна h. Выберем координаты A=(0,0), B=(1,0), C=(u,h); длины здесь выражены в единицах AB.

Из AK:BK=2:3 получаем K=(2/5,0). Так как AL:AC=5:8, имеем L=(5/8)C.

Пусть Q лежит на CK в доле t пути от K к C. Тогда его координаты в аффинном представлении имеют коэффициенты при B и C: \(\frac25(1-t)\) и t. Точка Q также лежит на BL; из параметризации BL следует, что её коэффициент при C равен \(5s/8\), а коэффициент при B — \(1-s\). Приравнивая коэффициенты, получаем \(t=5s/8\) и \(\frac25(1-t)=1-s\), откуда \(t=1/2\).

Значит, коэффициент при C у Q равен 1/2, поэтому расстояние от Q до AB равно h/2. По условию h/2=1, следовательно, h=2.

Площадь \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot h=5\). Подставляя h=2, получаем AB=5.

Ответ: 5.