15. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK:BK=1:3, а на стороне BC — точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q — точка пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BQC равна 2.

Введём аффинные координаты: B=(0,0), A=(1,0), C=(0,1). В этих координатах площадь треугольника ABC принимается за 1.

Из AK:BK=1:3 следует K=(3/4,0). Условие CL:BL=2:1 означает BL=BC/3, поэтому L=(0,1/3).

Прямая AL имеет уравнение x+3y=1, а прямая CK — 4x+3y=3. Решая систему, получаем Q=(2/3,1/9).

Отношение площадей треугольников BQC и ABC равно 2/3: основание BC общее, а высота из Q к BC составляет 2/3 высоты из A. Поэтому площадь BQC равна 2/3 площади ABC.

Следовательно, \(2=\frac23 S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC}=3\).

Ответ: 3.