14) ABCD — прямоугольник. Найдите периметр треугольника AOB, используя данные рисунка.

Дано: \(AB=12\), \(\angle BCO=30^\circ\). Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

Пусть \(BC=x\). В прямоугольном треугольнике \(BCO\):

\[\tan30^\circ=\frac{CO\text{ по горизонтали}}{BC}=\frac{x/2}{6}.\]

Так как \(\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}\), получаем:

\[\frac{x/2}{6}=\frac1{\sqrt3},\qquad x=4\sqrt3.\]

Половина диагонали:

\[OB=OA=\sqrt{6^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{36+12}=4\sqrt3.\]

Тогда периметр треугольника \(AOB\):

\[P_{AOB}=AB+AO+OB=12+4\sqrt3+4\sqrt3=12+8\sqrt3.\]

Ответ: \(12+8\sqrt3\).