14. Через вершину В прямого угла треугольника АВС проведена прямая b, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми b и AD, если АВ = 3 и BD = 4.

1. Прямая b перпендикулярна плоскости треугольника, значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая AD.

2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна другой, равно расстоянию от точки пересечения перпендикулярной прямой с плоскостью до второй прямой.

3. В данном случае, прямая b пересекает плоскость в точке В. Расстояние от В до прямой AD в плоскости треугольника ABC является высотой треугольника ABD, опущенной из вершины В на сторону AD.

4. Так как треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом при вершине В, то AD является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ABD.

5. Площадь треугольника ABD можно найти как (1/2) * AB * BD = (1/2) * 3 * 4 = 6. Также площадь равна (1/2) * AD * h, где h - искомое расстояние. Длина AD = sqrt(AB^2 + BD^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. Следовательно, 6 = (1/2) * 5 * h, откуда h = 12/5 = 2.4.