15. Из одной точки к плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 3 : 5. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны sqrt(33) и 17.

1. Обозначим наклонные как $$l_1$$ и $$l_2$$, а их проекции как $$p_1$$ и $$p_2$$. По условию, $$l_1/l_2 = 3/5$$, $$p_1 = \sqrt{33}$$, $$p_2 = 17$$.

2. Связь между наклонной, ее проекцией и высотой (h) к плоскости: $$l^2 = p^2 + h^2$$.

3. Из отношения наклонных: $$l_1 = (3/5)l_2$$.

4. Подставляем в уравнение: $$((3/5)l_2)^2 = (\sqrt{33})^2 + h^2$$ и $$l_2^2 = 17^2 + h^2$$.

5. Вычитаем первое уравнение из второго: $$l_2^2 - (9/25)l_2^2 = 17^2 - 33$$. Получаем $$(16/25)l_2^2 = 289 - 33 = 256$$. Отсюда $$l_2^2 = 256 * (25/16) = 16 * 25 = 400$$, значит $$l_2 = 20$$. Тогда $$l_1 = (3/5) * 20 = 12$$.