16. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью угол 45°, а между собой угол в 60°. Найти расстояние между концами наклонных.

1. Обозначим точку как А, ее проекцию на плоскость как О. Высота AO = a. Наклонные AB и AC. Угол наклона каждой наклонной к плоскости равен 45°, значит, треугольники AOB и AOC прямоугольные, и $$OB = OC = AO / \tan(45°) = a / 1 = a$$.

2. Угол между наклонными BAC = 60°.

3. Треугольник BOC равнобедренный с OB = OC = a. Угол BOC можно найти, используя теорему о трех перпендикулярах. Так как OB и OC равны, то треугольник BOC равнобедренный.

4. Рассмотрим треугольник BOC. По теореме косинусов: $$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 * OB * OC * \cos(\angle BOC)$$.

5. Чтобы найти $$\angle BOC$$, рассмотрим проекцию точки А на плоскость. Так как OB = OC, то точка О лежит на биссектрисе угла между проекциями наклонных. Угол между наклонными равен 60°, значит, угол между их проекциями также равен 60°. Следовательно, $$\angle BOC = 60°$$.

6. $$BC^2 = a^2 + a^2 - 2 * a * a * \cos(60°) = 2a^2 - 2a^2 * (1/2) = 2a^2 - a^2 = a^2$$. Следовательно, BC = a.