14. Даня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 100 000 очков. После первых двух минут игры добавляется 2 очка, после следующих двух — 4 очка, после следующих двух — восемь очков и так далее. Таким образом, после каждых двух минут игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Даня перейдёт на следующий уровень?

Решение:

Очки добавляются каждые 2 минуты. Количество очков удваивается каждые 2 минуты. Цель — 100 000 очков.

Пусть \( k \) — количество двухминутных интервалов.

Очки, добавленные за \( k \)-й интервал: \( 2 · 2^{k-1} \).

Сумма очков после \( n \) интервалов (т.е. после \( 2n \) минут): \( S_n = ∑_{k=1}^{n} 2 · 2^{k-1} \). Это сумма геометрической прогрессии с первым членом \( a_1 = 2 \) и знаменателем \( q = 2 \).

Формула суммы геометрической прогрессии: \( S_n = a_1 · \frac{q^n - 1}{q - 1} \).

\( S_n = 2 · \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \).

Нам нужно найти \( n \), при котором \( S_n ≥ 100000 \).

\[ 2^{n+1} - 2 ≥ 100000 \]

\[ 2^{n+1} ≥ 100002 \]

Найдем \( n \) методом подбора или логарифмирования. Известно, что \( 2^{10} = 1024 \), \( 2^{16} = 65536 \), \( 2^{17} = 131072 \).

Следовательно, \( n+1 \) должно быть равно 17, чтобы \( 2^{n+1} ≥ 100002 \).

\[ n+1 = 17 \]

\[ n = 16 \]

Это означает, что потребуется 16 двухминутных интервалов.

Общее время: \( 16 · 2 \text{ минуты} = 32 \text{ минуты} \).

Проверим: сумма очков после 16 интервалов (32 минут) равна \( 2^{16+1} - 2 = 2^{17} - 2 = 131072 - 2 = 131070 \), что больше 100 000.

Сумма очков после 15 интервалов (30 минут) равна \( 2^{15+1} - 2 = 2^{16} - 2 = 65536 - 2 = 65534 \), что меньше 100 000.

Таким образом, Даня перейдёт на следующий уровень после 32 минут.

Ответ: 32 минуты