14. Докажите, что четырёхугольник КНМР с вершинами в точках K(1; 6), H(4; 2), M(0; −1), P(−3; 3) является квадратом.

Найдём векторы сторон в указанном порядке:

KH = (4 − 1; 2 − 6) = (3; −4); HM = (0 − 4; −1 − 2) = (−4; −3); MP = (−3 − 0; 3 − (−1)) = (−3; 4); PK = (1 − (−3); 6 − 3) = (4; 3).

Длины всех сторон равны 5, поскольку для каждой пары координат сумма квадратов равна 25. Например, |KH| = √(3² + (−4)²) = 5. Аналогично |HM| = |MP| = |PK| = 5.

Соседние стороны перпендикулярны: KH · HM = 3 · (−4) + (−4) · (−3) = 0. Значит, четырёхугольник имеет равные стороны и прямой угол.

Следовательно, КНМР — квадрат.