14 Группа спортсменов приняла участие в легкоатлетической эстафете, проводимой по правилу: первый спортсмен пробегает дистанцию, равную 100 метрам, второй пробегает на 100 метров больше первого, третий — на 100 метров больше второго и т. д. Всего участники пробежали 5500 метров. Сколько спортсменов участвовало в эстафете?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Известно:

• Первый член прогрессии \( a_1 = 100 \) м (дистанция первого спортсмена).
• Разность прогрессии \( d = 100 \) м (каждый следующий спортсмен бежит на 100 м больше предыдущего).
• Сумма первых \( n \) членов прогрессии \( S_n = 5500 \) м (общая дистанция).

Формула суммы \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставим известные значения:

\[ 5500 = \frac{2 \cdot 100 + (n-1)100}{2} \cdot n \]\[ 5500 = \frac{200 + 100n - 100}{2} \cdot n \]\[ 5500 = \frac{100 + 100n}{2} \cdot n \]\[ 5500 = (50 + 50n) \cdot n \]\[ 5500 = 50n + 50n^2 \]

Разделим обе части уравнения на 50:

\[ 110 = n + n^2 \]

Перепишем в виде квадратного уравнения:

\[ n^2 + n - 110 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \)

Найдём корни:

\[ n_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]\[ n_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \]

Так как количество спортсменов не может быть отрицательным, выбираем \( n = 10 \).

Ответ: 10 спортсменов.