16 Расстояние от центра окружности О до середины Н хорды АВ равно √41. Найдите радиус окружности, если длина хорды AB = 40.

Решение:

В окружности проведена хорда \( AB \) длиной 40. \( H \) — середина хорды \( AB \). Расстояние от центра \( O \) до середины хорды \( OH = \sqrt{41} \).

Радиус окружности \( R \) — это расстояние от центра \( O \) до любой точки на окружности, например, до \( A \) или \( B \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OHA \).

В этом треугольнике:

• Катет \( OH = \sqrt{41} \) (расстояние от центра до середины хорды).
• Катет \( AH \) равен половине длины хорды \( AB \): \( AH = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).
• Гипотенуза \( OA \) — это радиус окружности \( R \).

По теореме Пифагора:

\[ OA^2 = OH^2 + AH^2 \]\[ R^2 = (\sqrt{41})^2 + 20^2 \]\[ R^2 = 41 + 400 \]\[ R^2 = 441 \]\[ R = \sqrt{441} = 21 \]

Ответ: 21.