14. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1100 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Решение:

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где первый член \(a_1 = 3200\) (стоимость первого метра) и разность прогрессии \(d = 1100\) (увеличение стоимости за каждый следующий метр).

1. Найдем стоимость десятого метра: \(a_{10} = a_1 + (n-1)d\).
2. Стоимость 9 метров - это сумма первых 9 членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} n\).
3. Подставим значения: \(n = 9\), \(a_1 = 3200\), \(d = 1100\).
4. \(S_9 = \frac{2 × 3200 + (9-1) × 1100}{2} × 9\)
5. \(S_9 = \frac{6400 + 8 × 1100}{2} × 9\)
6. \(S_9 = \frac{6400 + 8800}{2} × 9\)
7. \(S_9 = \frac{15200}{2} × 9\)
8. \(S_9 = 7600 × 9\)
9. \(S_9 = 68400\)

Ответ: 68400 рублей.