16. Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k, если k и AB расположены разные стороны от центра окружности.

Решение:

Пусть \(R\) — радиус окружности, \(AB\) — хорда, \(k\) — касательная, параллельная хорде. Центр окружности — \(O\).

1. Радиус окружности \(R = 65\).
2. Длина хорды \(AB = 126\).
3. Проведем перпендикуляр из центра \(O\) к хорде \(AB\). Пусть точка пересечения — \(D\). Этот перпендикуляр делит хорду пополам: \(AD = DB = \frac{126}{2} = 63\).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADO\). По теореме Пифагора найдем расстояние от центра до хорды \(OD\): \(OD^2 + AD^2 = OA^2\) (где \(OA\) — радиус, равный 65).
5. \(OD^2 + 63^2 = 65^2\)
6. \(OD^2 = 65^2 - 63^2\)
7. \(OD^2 = 4225 - 3969\)
8. \(OD^2 = 256\)
9. \(OD = √{256} = 16\).
10. Касательная \(k\) параллельна хорде \(AB\). Расстояние от центра \(O\) до касательной \(k\) равно радиусу \(R = 65\).
11. Так как касательная и хорда расположены по разные стороны от центра, расстояние между ними равно сумме расстояния от центра до хорды и расстояния от центра до касательной.
12. Расстояние от \(AB\) до \(k\) = \(OD + R\).
13. Расстояние = \(16 + 65 = 81\).

Ответ: 81.