14. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 14 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где первый член $$a_1 = 14$$ (расстояние, пройденное за первую секунду), а разность прогрессии $$d = 10$$ (увеличение расстояния каждую следующую секунду).

Найдём расстояние, пройденное камнем за каждую из первых четырёх секунд:

1. За 1-ю секунду: $$a_1 = 14$$ м.
2. За 2-ю секунду: $$a_2 = a_1 + d = 14 + 10 = 24$$ м.
3. За 3-ю секунду: $$a_3 = a_2 + d = 24 + 10 = 34$$ м.
4. За 4-ю секунду: $$a_4 = a_3 + d = 34 + 10 = 44$$ м.

Теперь найдём общее расстояние, пролетевшее за первые четыре секунды, как сумму этих расстояний:

Сумма $$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14 + 24 + 34 + 44$$.

$$S_4 = 38 + 78 = 116$$ м.

Альтернативно, можно использовать формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$.

В нашем случае $$n=4$$, $$a_1=14$$, $$d=10$$.

$$S_4 = \frac{4}{2}(2 × 14 + (4-1) × 10) = 2(28 + 3 × 10) = 2(28 + 30) = 2(58) = 116$$ м.

Ответ: 116.