14) MN — средняя линия трапеции ABCD. а) \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Выразите через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) вектор \(\overrightarrow{MN}\). б) Найдите длину MN, если AD = 10, BC = 4.

а) Вектор средней линии равен полусумме векторов, направленных вдоль боковых сторон от одной параллельной стороны к другой. Здесь \(\overrightarrow{AM}=-\frac12\overrightarrow{DA}=-\frac12\vec a\), а \(\overrightarrow{CN}=-\frac12\overrightarrow{BC}=-\frac12\vec b\). Удобнее сложить перемещения от M к N через A и D: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\). Так как \(\overrightarrow{MA}=\frac12\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=-\vec a\), \(\overrightarrow{DN}=\frac12\vec b\), получаем \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\vec a+\frac12\vec b=\frac12(\vec b-\vec a)\).

б) Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \(MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+4}{2}=7\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{MN}=\frac12(\vec b-\vec a)\); б) \(MN=7\).