14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 130.

Решение:

Проанализируем закономерность в длинах звеньев «змейки».

Последнее звено имеет длину 10. Звенья идут по линиям сетки. Можно предположить, что длины звеньев увеличиваются последовательно, начиная с 1.

Если последнее звено имеет длину 10, то предыдущие звенья имеют длины: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Всего 10 звеньев.

Длина ломаной в этом случае — это сумма длин всех звеньев: \( S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 \)

Используем формулу суммы первых \( n \) натуральных чисел: \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \)

В нашем случае \( n = 10 \), поэтому \( S_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 \).

Теперь рассмотрим случай, когда последнее звено имеет длину 130.

Количество звеньев будет равно 130.

Длина ломаной будет суммой длин звеньев от 1 до 130: \( S_{130} = 1 + 2 + 3 + \dots + 130 \)

Используем ту же формулу, но с \( n = 130 \):

\( S_{130} = \frac{130(130+1)}{2} = \frac{130 \cdot 131}{2} = 65 \cdot 131 \)

Вычислим произведение:

\( 65 \cdot 131 = 65 \cdot (100 + 30 + 1) = 6500 + 1950 + 65 = 8515 \)

Ответ: 8515.