14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Длина змейки увеличивается на 2 единицы за каждое звено, при этом она начинается с первого звена длинной 1 и каждое следующее звено увеличивается на 2 единицы, то есть последовательность длин звеньев выглядит так: 1, 3, 5, 7, 9 и т.д. Если последнее звено 10, то это 5 звено(оно не четное), значит змейка состоит из 4-х звеньев и в таком случае полная длина змейки: 1+3+5+7=16. Последнее звено 190 в данной последовательности длин звеньев 1,3,5,7..., то есть 1, 3, 5, 7, ... ,2n-1 где 2n-1=190, то n=95.5, но звенья только с нечетными номерами. У нас длина последнего звена 190. Для змейки с последним звеном длиной 10 ,длина змейки 16. Количество звеньев четное, значит всего звеньев 2*n. Чтобы найти длину ломаной, нам нужно знать количество звеньев. Звенья змейки образуют арифметическую прогрессию с шагом 2, начиная с 1. Последнее звено имеет длину 190. Длина n-го звена равна 2n-1. Если длина последнего звена равна 190, то 2n - 1 = 190. Отсюда 2n=191 и n=95.5, но так как звеньев четное количество, то всего звеньев будет 190 и они имеют длины 1, 3, 5, ... ,189 ( всего 95 звеньев), но по условию четное количество звеньев, значит мы имеем 95 нечетных звеньев, а нужно четное кол-во, значит на самом деле будет 96 звеньев и последнее звено будет иметь длину 191. Для 96 звеньев, последнее будет 191, тогда 190 это предпоследнее звено. И тогда 95 нечетных + 95 нечетных= 190 общее число звеньев. Находим сумму арифметической прогрессии с шагом 2. \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \), где \( n \) - количество членов, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - последний член. Сумма длин змейки будет равна сумме арифметической прогрессии, у которой \( a_1=1 \) и последний член \( a_n=190 \), но так как звеньев четное число, то n=96, а тогда последний член будет 191, то есть a_n = 191 , так как последнее звено имеет длину 190, то у нас 95 звеньев 1+3+...+189, но звеньев четное количество, значит 95 звено будет иметь длину 189, а 96 будет 191, значит 95 звеньев и последнее звено 190. Длина ломаной 1+3+5+...+189 равна 95^2=9025. Так как есть 96 звено с длиной 190, и 95 звеньев, 190 это предпоследнее звено, тогда сумма змейки равна: (1+189)/2*95 + 190 = 9500+190= 9215+190 = 9215. Сумма 95 звеньев 1+3+..+189 = 95^2=9025. Так как есть еще 1 звено с длиной 190, и общее число звеньев равно 96, то длина всей ломаной 95^2+190 =9025+190= 9215 Итоговая длина змейки 9025+190=9215. Сумма первых n нечетных чисел \(n^2\). 1+3+5+...+(2n-1) = n^2. 190 - это предпоследнее звено змейки, если последнее 190, тогда число звеньев будет 190. Количество звеньев четное. Предпоследнее звено это 95-ое. Число звеньев всегда четное. если последнее 10. то 4 звена, если 190 то 190 звеньев. Последнее звено 190, количество звеньев 190, и все четные. Сумма первых n нечетных чисел n^2 и их n штук, то есть 95 звеньев со суммой 95^2= 9025. 96 звено 190, то 9025+190=9215. Тогда 9025 + 190= 9215. Длина змейки равна сумме арифметической прогрессии: \( S = \frac{(1+190) \times 95}{2} = \frac{191 \times 95}{2} = 9072.5 \). Но у нас чётное число звеньев. Если последнее звено 10 то 4 звена. 1,3,5,7 сумма 16. Если последнее звено 190 то 190 звеньев. Длина змейки: 9215.