Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R n}{180} \), где \( R \) — радиус окружности, \( n \) — центральный угол, опирающийся на дугу, в градусах.
Нам дана длина меньшей дуги \( AB \), которая соответствует центральному углу \( \angle AOB = 120^{\circ} \). Пусть \( L_{min} = 67 \).
\( 67 = \frac{\pi R \cdot 120}{180} \)
Упростим дробь \( \frac{120}{180} = \frac{2}{3} \).
\( 67 = \frac{2 \pi R}{3} \)
Отсюда выразим \( \pi R \):
\( \pi R = \frac{67 \cdot 3}{2} = \frac{201}{2} = 100.5 \)
Длина всей окружности равна \( C = 2 \pi R = 2 \cdot 100.5 = 201 \).
Большая дуга \( AB \) соответствует центральному углу \( 360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ} \).
Длина большей дуги \( L_{max} \) равна разности длины всей окружности и длины меньшей дуги:
\( L_{max} = C - L_{min} = 201 - 67 = 134 \).
Либо можно вычислить длину большей дуги напрямую:
\( L_{max} = \frac{\pi R \cdot 240}{180} = \frac{2 \pi R}{3} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{201}{2} = 201 \). Это ошибка.
Правильный расчет длины большей дуги:
\( L_{max} = \frac{\pi R \cdot 240}{180} = \frac{2 \pi R}{3} \cdot 2 \) — неверный путь.
\( L_{max} = \frac{2 \pi R}{180} \cdot 240 = \frac{\pi R \cdot 240}{180} \)
Учитывая, что \( \pi R = 100.5 \) (это значение не радиуса, а \( \pi R \)):
\( L_{max} = \frac{100.5 \cdot 240}{180} = 100.5 \cdot \frac{240}{180} = 100.5 \cdot \frac{4}{3} \) — также неверно.
Вернемся к \( \pi R \) как к значению, которое мы получили из длины меньшей дуги.
\( 67 = \frac{2}{3} \pi R \)
\( \pi R = \frac{3 \cdot 67}{2} = 100.5 \)
Длина большей дуги соответствует углу \( 240^{\circ} \).
\( L_{max} = \frac{\pi R \cdot 240}{180} = \frac{100.5 \cdot 240}{180} \)
\( L_{max} = 100.5 \cdot \frac{4}{3} \)
\( L_{max} = \frac{402}{3} = 134 \).
Другой способ:
Длина всей окружности \( C = L_{min} + L_{max} \).
Угол \( 120^{\circ} \) составляет \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \) всей окружности.
Угол \( 240^{\circ} \) составляет \( \frac{240}{360} = \frac{2}{3} \) всей окружности.
Значит, длина большей дуги в 2 раза больше длины меньшей дуги.
\( L_{max} = 2 \cdot L_{min} \)
\( L_{max} = 2 \cdot 67 = 134 \).
Ответ: 134.
