Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 14) На координатной прямой отмечены числа x и y. Какое из приведённых утверждений для этих чисел верно? 1) x + y > 0 2) xy² <…Фото задания

Ответ:

Решение:

По координатной прямой видно, что \( y < 0 \) и \( x > 0 \). Также видно, что \( |x| < |y| \), то есть \( x < -y \).

Рассмотрим каждое утверждение:

  1. \( x + y > 0 \) — неверно, так как \( x \) положительное, а \( y \) отрицательное, и \( |y| > |x| \), то сумма \( x + y \) будет отрицательной.
  2. \( xy^2 < 0 \) — верно. \( x > 0 \), а \( y^2 \) всегда больше или равно 0. Так как \( y \) не равно 0, то \( y^2 > 0 \). Произведение положительного \( x \) и положительного \( y^2 \) будет положительным. Ошибка в анализе. \( x > 0 \) и \( y^2 > 0 \), значит \( xy^2 > 0 \).
  3. \( x - y < 0 \) — верно. \( x \) положительное, \( -y \) положительное. \( x - y = x + (-y) \). Так как \( x > 0 \) и \( -y > 0 \), то \( x - y > 0 \). Ошибка в анализе. \( x > 0 \), \( y < 0 \), значит \( -y > 0 \). \( x - y = x + (-y) \). Так как \( x > 0 \) и \( -y > 0 \), то \( x - y > 0 \).
  4. \( x^2y > 0 \) — неверно. \( x^2 \) всегда положительно (так как \( x \) не равно 0), а \( y \) отрицательно. Произведение положительного числа на отрицательное будет отрицательным.

Пересмотрим утверждение 2:

\( xy^2 < 0 \). \( x > 0 \). \( y^2 \) всегда \( > 0 \) (так как \( y \) не равно 0). Следовательно, \( xy^2 > 0 \). Утверждение 2 неверно.

Пересмотрим утверждение 3:

\( x - y < 0 \). \( x > 0 \) и \( y < 0 \). Значит \( -y > 0 \). \( x - y = x + (-y) \). Это сумма двух положительных чисел, поэтому \( x - y > 0 \). Утверждение 3 неверно.

Давайте пересмотрим рисунок. \( y \) находится слева от 0, значит \( y < 0 \). \( x \) находится справа от 0, значит \( x > 0 \). Также \( |y| > |x| \).

Проверим варианты еще раз:

  1. \( x + y > 0 \): \( x \) положительное, \( y \) отрицательное. Так как \( |y| > |x| \), то \( x+y < 0 \). Неверно.
  2. \( xy^2 < 0 \): \( x > 0 \), \( y^2 > 0 \). Значит \( xy^2 > 0 \). Неверно.
  3. \( x - y < 0 \): \( x > 0 \), \( -y > 0 \). Значит \( x - y = x + (-y) > 0 \). Неверно.
  4. \( x^2y > 0 \): \( x^2 > 0 \), \( y < 0 \). Значит \( x^2y < 0 \). Неверно.

Есть ошибка в моем анализе или в вариантах ответа. Давайте внимательнее посмотрим на рисунок. \( y \) значительно левее 0, \( x \) значительно правее 0. \( |y| \) кажется больше \( |x| \).

Попробуем присвоить значения. Пусть \( y = -3 \) и \( x = 1 \).

  1. \( x + y = 1 + (-3) = -2 \). \( -2 < 0 \). Утверждение 1: \( x + y > 0 \) — неверно.
  2. \( xy^2 = 1 \times (-3)^2 = 1 \times 9 = 9 \). \( 9 > 0 \). Утверждение 2: \( xy^2 < 0 \) — неверно.
  3. \( x - y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \). \( 4 > 0 \). Утверждение 3: \( x - y < 0 \) — неверно.
  4. \( x^2y = 1^2 \times (-3) = 1 \times (-3) = -3 \). \( -3 < 0 \). Утверждение 4: \( x^2y > 0 \) — неверно.

Попробуем другую комбинацию, где \( |x| > |y| \). Пусть \( y = -1 \) и \( x = 3 \).

  1. \( x + y = 3 + (-1) = 2 \). \( 2 > 0 \). Утверждение 1: \( x + y > 0 \) — верно.
  2. \( xy^2 = 3 \times (-1)^2 = 3 \times 1 = 3 \). \( 3 > 0 \). Утверждение 2: \( xy^2 < 0 \) — неверно.
  3. \( x - y = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \). \( 4 > 0 \). Утверждение 3: \( x - y < 0 \) — неверно.
  4. \( x^2y = 3^2 \times (-1) = 9 \times (-1) = -9 \). \( -9 < 0 \). Утверждение 4: \( x^2y > 0 \) — неверно.

В изначальном анализе \( |y| > |x| \) было верным. Давайте вернемся к этому. \( y < 0 \) и \( x > 0 \). \( |y| > |x| \).

1. \( x + y \). \( x \) положительное, \( y \) отрицательное. \( |y| > |x| \) => \( x+y < 0 \). Утверждение 1: \( x + y > 0 \) — неверно.

2. \( xy^2 \). \( x > 0 \), \( y^2 > 0 \). Значит \( xy^2 > 0 \). Утверждение 2: \( xy^2 < 0 \) — неверно.

3. \( x - y \). \( x > 0 \), \( y < 0 \) => \( -y > 0 \). \( x - y = x + (-y) \). Сумма двух положительных чисел. \( x - y > 0 \). Утверждение 3: \( x - y < 0 \) — неверно.

4. \( x^2y \). \( x^2 > 0 \), \( y < 0 \). Произведение положительного и отрицательного. \( x^2y < 0 \). Утверждение 4: \( x^2y > 0 \) — неверно.

Возможно, я неправильно интерпретирую положение точек. \( y \) находится ближе к 0, чем \( x \). То есть \( |y| < |x| \). И \( y < 0 \), \( x > 0 \).

Пусть \( y = -1 \) и \( x = 3 \).

  1. \( x + y = 3 + (-1) = 2 \). \( 2 > 0 \). Утверждение 1: \( x + y > 0 \) — верно.
  2. \( xy^2 = 3 \times (-1)^2 = 3 \). \( 3 > 0 \). Утверждение 2: \( xy^2 < 0 \) — неверно.
  3. \( x - y = 3 - (-1) = 4 \). \( 4 > 0 \). Утверждение 3: \( x - y < 0 \) — неверно.
  4. \( x^2y = 3^2 \times (-1) = -9 \). \( -9 < 0 \). Утверждение 4: \( x^2y > 0 \) — неверно.

В этом случае верно первое утверждение.

Давайте предположим, что \( |y| = |x| \). Пусть \( y = -2 \) и \( x = 2 \).

  1. \( x + y = 2 + (-2) = 0 \). \( 0 \) не больше 0. Утверждение 1: \( x + y > 0 \) — неверно.

Итак, из рисунка следует, что \( y < 0 \), \( x > 0 \), и \( |x| > |y| \).

Проверим утверждения еще раз с \( |x| > |y| \):

  1. \( x + y > 0 \): \( x \) положительное, \( y \) отрицательное. \( |x| > |y| \) => \( x + y > 0 \). Утверждение 1: \( x + y > 0 \) — верно.
  2. \( xy^2 < 0 \): \( x > 0 \), \( y^2 > 0 \). Значит \( xy^2 > 0 \). Утверждение 2: \( xy^2 < 0 \) — неверно.
  3. \( x - y < 0 \): \( x > 0 \), \( -y > 0 \). \( x - y = x + (-y) \). Сумма двух положительных. \( x - y > 0 \). Утверждение 3: \( x - y < 0 \) — неверно.
  4. \( x^2y > 0 \): \( x^2 > 0 \), \( y < 0 \). Произведение положительного и отрицательного. \( x^2y < 0 \). Утверждение 4: \( x^2y > 0 \) — неверно.

Ответ: 1) x + y > 0