14. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=√2x-1 на промежутке (0,5; +∞)

Решение:

Нам нужно найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \sqrt{2x-1} \).

Запишем \( f(x) = (2x-1)^{1/2} \).

Интегрируем \( f(x) \):

\[ F(x) = \int (2x-1)^{1/2} dx \]

Сделаем замену \( u = 2x-1 \). Тогда \( du = 2 dx \), то есть \( dx = \frac{1}{2} du \).

\[ F(x) = \int u^{1/2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du \]

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ F(x) = \frac{1}{2} \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \]

Подставляем обратно \( u = 2x-1 \):

\[ F(x) = \frac{1}{3} (2x-1)^{3/2} + C \]

Теперь преобразуем \( (2x-1)^{3/2} = (2x-1) \cdot (2x-1)^{1/2} = (2x-1)\sqrt{2x-1} \).

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = \frac{1}{3} (2x-1)\sqrt{2x-1} + C \]

Сравним с предложенными вариантами:

1. \( F(x) = \frac{4}{3\sqrt{2x-1}} + C \)
2. \( F(x) = \frac{1}{3\sqrt{2x-1}} + C \)
3. \( F(x) = \frac{4(2x-1)\sqrt{2x-1}}{3} + C \)
4. \( F(x) = \frac{(2x-1)\sqrt{2x-1}}{3} + C \). Этот вариант совпадает с нашим результатом.

Ответ: 4) \( F(x) = \frac{(2x-1)\sqrt{2x-1}}{3} + C \)