14. Найдите значение выражения 3 \( \frac{12}{13} \) : \( \left( 1 \frac{3}{7} + 2 \frac{4}{13} \right) \).

Решение:

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

\( 3 \frac{12}{13} = \frac{3 \cdot 13 + 12}{13} = \frac{39 + 12}{13} = \frac{51}{13} \)

\( 1 \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{7 + 3}{7} = \frac{10}{7} \)

\( 2 \frac{4}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{26 + 4}{13} = \frac{30}{13} \)

Теперь сложим дроби в скобках:

\[ \frac{10}{7} + \frac{30}{13} \]

Приведем к общему знаменателю 7 \( \times \) 13 = 91:

\[ \frac{10 \cdot 13}{7 \cdot 13} + \frac{30 \cdot 7}{13 \cdot 7} = \frac{130}{91} + \frac{210}{91} = \frac{130 + 210}{91} = \frac{340}{91} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{51}{13} : \frac{340}{91} = \frac{51}{13} \cdot \frac{91}{340} \]

Сократим дроби. Заметим, что \( 91 = 13 \cdot 7 \), а \( 51 = 3 \cdot 17 \) и \( 340 = 20 \cdot 17 \).

\[ \frac{51}{13} \cdot \frac{13 \cdot 7}{340} = \frac{51 \cdot 7}{340} = \frac{(3 \cdot 17) \cdot 7}{20 \cdot 17} = \frac{3 \cdot 7}{20} = \frac{21}{20} \]

Преобразуем в смешанное число:

\[ \frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20} \]

Ответ: \( 1 \frac{1}{20} \).