14. Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь 32 см². Определите, чему равна длина и ширина прямоугольника?

Дано: Периметр прямоугольника \(P = 24\) см, площадь прямоугольника \(S = 32\) см².
Нужно найти: Длину \(a\) и ширину \(b\) прямоугольника.
Решение:
1. Используем формулы периметра \(P = 2 \times (a + b)\) и площади \(S = a \times b\).
\(24 = 2 \times (a + b)\) и \(32 = a \times b\)
Из первого уравнения: \(12 = a + b\), откуда \(b = 12 - a\)
2. Подставим \(b\) во второе уравнение:
\(32 = a \times (12 - a)\)
\(32 = 12a - a^2\)
\(a^2 - 12a + 32 = 0\)
3. Решим квадратное уравнение через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где a=1, b=-12, c=32:
\(D = (-12)^2 - 4 \times 1 \times 32 = 144 - 128 = 16\)
\(a_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{12+4}{2} = 8\) см
\(a_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{12-4}{2} = 4\) см
4. Если \(a=8\), то \(b = 12 - 8 = 4\) см. Если \(a=4\), то \(b = 12 - 4 = 8\) см.
Ответ: Длина прямоугольника 8 см, ширина 4 см или наоборот, длина 4 см, ширина 8 см.