14. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Пусть \( S \) — общая длина всей трассы. Тогда первая половина трассы равна \( \frac{S}{2} \) и вторая половина трассы равна \( \frac{S}{2} \).

Время, затраченное на первую половину пути \( t_1 \), равно:

\( t_1 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{S/2}{55} = \frac{S}{110} \) часов.

Время, затраченное на вторую половину пути \( t_2 \), равно:

\( t_2 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{S/2}{70} = \frac{S}{140} \) часов.

Общее время в пути \( T \) равно сумме времен \( t_1 \) и \( t_2 \):

\( T = t_1 + t_2 = \frac{S}{110} + \frac{S}{140} \)

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 110 и 140:

110 = 11 \(\times\) 10 = 11 \(\times\) 2 \(\times\) 5

140 = 14 \(\times\) 10 = 2 \(\times\) 7 \(\times\) 2 \(\times\) 5

НОД(110, 140) = 2 \(\times\) 5 \(\times\) 2 \(\times\) 7 \(\times\) 11 = 1540

\( T = \frac{11S}{1540} + \frac{14S}{1540} = \frac{25S}{1540} \) часов.

Средняя скорость \( v_{ср} \) находится по формуле:

\( v_{ср} = \frac{\text{общее расстояние}}{\text{общее время}} = \frac{S}{T} \)

\( v_{ср} = \frac{S}{\frac{25S}{1540}} = S \cdot \frac{1540}{25S} = \frac{1540}{25} \)

\( v_{ср} = \frac{1540}{25} = 61.6 \) км/ч.