14. Тип 14 № 51482. а) Решите уравнение \(\log_5(2-x)=\log_{25}x^4\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\log_9\frac{1}{82};\log_9 8]\).

а) Область допустимых значений: \(2-x>0\) и \(x^4>0\), то есть \(x<2\), \(x\ne0\).

Так как \(25=5^2\), имеем \(\log_{25}x^4=\frac12\log_5x^4=2\log_5|x|=\log_5x^2\). Тогда уравнение принимает вид \(\log_5(2-x)=\log_5x^2\).

Приравниваем аргументы логарифмов: \(2-x=x^2\). Отсюда \(x^2+x-2=0\), то есть \((x+2)(x-1)=0\). Получаем \(x=-2\) или \(x=1\); оба значения удовлетворяют ОДЗ.

б) Нижняя граница отрезка меньше \(-2\), поскольку \(\frac1{82}<\frac1{81}=9^{-2}\). Верхняя граница меньше 1, поскольку \(8<9\), поэтому \(\log_9 8<1\). Следовательно, из корней уравнения отрезку принадлежит только \(-2\).

Ответ: а) \(-2; 1\); б) \(-2\).