14. Упростите выражение: 1) $\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right):\frac{a^2}{1-2a+a^2}$; 2) $\left(y+2+\frac{8}{y-2}\right):\frac{y^2+4}{4-4y+y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. Упростите выражение: 1) $\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right):\frac{a^2}{1-2a+a^2}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Заметим, что $1-2a+a^2=(a-1)^2$. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$a+1+\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)+1}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}.$

Деление на дробь заменим умножением на обратную:

$\frac{a^2}{a-1}:\frac{a^2}{(a-1)^2}=\frac{a^2}{a-1}\cdot\frac{(a-1)^2}{a^2}=a-1.$

2) Здесь $4-4y+y^2=(y-2)^2$. Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

$y+2+\frac{8}{y-2}=\frac{(y+2)(y-2)+8}{y-2}=\frac{y^2+4}{y-2}.$

Делим на дробь:

$\frac{y^2+4}{y-2}:\frac{y^2+4}{(y-2)^2}=\frac{y^2+4}{y-2}\cdot\frac{(y-2)^2}{y^2+4}=y-2.$

Ответ: 1) $a-1$; 2) $y-2$.

14. Упростите выражение: 1) \(\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right):\frac{a^2}{1-2a+a^2}\); 2) \(\left(y+2+\frac{8}{y-2}\right):\frac{y^2+4}{4-4y+y^2}\).