14. В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

Известно:

• Число рядов \( n = 12 \)
• Количество мест в первом ряду \( a_1 = 15 \)
• Разность арифметической прогрессии \( d = 3 \) (на 3 места больше в каждом следующем ряду)

Найдём количество мест в последнем (12-м) ряду по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \):

\( a_{12} = 15 + (12-1) × 3 \)

\( a_{12} = 15 + 11 × 3 \)

\( a_{12} = 15 + 33 \)

\( a_{12} = 48 \) мест.

Теперь найдём сумму всех мест в амфитеатре по формуле суммы арифметической прогрессии \( S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \):

\( S_{12} = \frac{(15 + 48) × 12}{2} \)

\( S_{12} = \frac{63 × 12}{2} \)

\( S_{12} = 63 × 6 \)

\( S_{12} = 378 \) мест.

Ответ: 378 мест.