15. Сторона равностороннего треугольника равна 5√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где сторона \( a = 5\sqrt{3} \). Проведём биссектрису (которая также является высотой) из вершины A к стороне BC. Пусть точка пересечения — H. Треугольник ABH будет прямоугольным.

В равностороннем треугольнике каждый угол равен \( 60^ \).

Биссектриса делит угол пополам, поэтому \( \angle BAH = \frac{60^}{2} = 30^ \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:

\( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)

Длина стороны \( AB = a = 5\sqrt{3} \).

Длина отрезка \( BH \) равна половине стороны BC, так как AH — медиана: \( BH = \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \).

\( (5\sqrt{3})^2 = AH^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 \)

\( 25 × 3 = AH^2 + \frac{25 × 3}{4} \)

\( 75 = AH^2 + \frac{75}{4} \)

\( AH^2 = 75 - \frac{75}{4} = \frac{300 - 75}{4} = \frac{225}{4} \)

\( AH = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2} = 7.5 \)

Альтернативное решение:

В равностороннем треугольнике длина биссектрисы (высоты) \( h \) находится по формуле \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — длина стороны.

Подставим значение \( a = 5\sqrt{3} \):

\( h = \frac{(5\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} \)

\( h = \frac{5 × 3}{2} \)

\( h = \frac{15}{2} \)

\( h = 7.5 \)

Ответ: 7.5.