14. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем в места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Ответ:

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

Дано:

Число рядов: \( n = 14 \)

Число мест в первом ряду: \( a_1 = 16 \)

Разность между местами в соседних рядах: \( d = 3 \)

Найти: Сумму мест во всех рядах \( S_{14} \).

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Найдем число мест в последнем (14-м) ряду:

\[ a_{14} = 16 + (14-1) \cdot 3 = 16 + 13 \cdot 3 = 16 + 39 = 55 \]

Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \]

Найдём сумму мест во всех 14 рядах:

\[ S_{14} = \frac{(16 + 55) \cdot 14}{2} = \frac{71 \cdot 14}{2} = 71 \cdot 7 = 497 \]

Ответ: 497