14. В амфитеатре 18 рядов, причём одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 места, а в шестом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Условие задачи означает, что количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Пусть \( a_n \) — количество мест в \( n \)-м ряду, а \( d \) — разность прогрессии.

По условию:

• \( a_3 = 24 \)
• \( a_6 = 33 \)
• \( n = 18 \) (всего рядов)

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Запишем уравнения для заданных рядов:

• \( a_3 = a_1 + (3-1)d \implies 24 = a_1 + 2d \)
• \( a_6 = a_1 + (6-1)d \implies 33 = a_1 + 5d \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (a_1 + 5d) - (a_1 + 2d) = 33 - 24 \)

\( 3d = 9 \)

\( d = 3 \)

Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d=3 \) в первое уравнение:

\( 24 = a_1 + 2(3) \)

\( 24 = a_1 + 6 \)

\( a_1 = 18 \)

Теперь найдём количество мест в последнем, 18-м ряду \( a_{18} \):

\( a_{18} = a_1 + (18-1)d = 18 + (17)(3) = 18 + 51 = 69 \)

Ответ: 69 мест.