14. В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD = 15.

Поскольку M — середина BC, отрезок AM является медианой треугольника ABC. Для нахождения отношения на диагонали BD используем векторную запись: пусть A — начало координат, а радиус-векторы точек B и D равны \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\). Тогда \(C=\mathbf b+\mathbf d\), а \(M=\mathbf b+\frac{1}{2}\mathbf d\).

Пусть \(K=B+t(D-B)\) и одновременно \(K=sM\). Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\), получаем \(1-t=s\) и \(t=\frac{s}{2}\). Следовательно, \(1-t=2t\), откуда \(t=\frac{1}{3}\). Значит, \(BK=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}\cdot15=5\).

Ответ: 5.