14. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ сторона основания равна 8. Точка $L$ — середина ребра $SC$. Тангенс угла между прямыми $BL$ и $SA$ равен $2\sqrt{\frac25}$. а) Пусть $O$ — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые $BO$ и $LO$ перпендикулярны. б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ сторона основания равна 8. Точка $L$ — середина…$ Фото задания

14. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ сторона основания равна 8. Точка $L$ — середина ребра $SC$. Тангенс угла между прямыми $BL$ и $SA$ равен $2\sqrt{\frac25}$. а) Пусть $O$ — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые $BO$ и $LO$ перпендикулярны. б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Accepted Answer

Обозначим высоту пирамиды через $h$. Введём координаты: $O=(0,0,0)$, $A=(4,4,0)$, $B=(-4,4,0)$, $C=(-4,-4,0)$, $S=(0,0,h)$. Тогда $L=(-2,-2,\frac h2)$.

а) Направляющие векторы прямых $BO$ и $LO$: $\overrightarrow{OB}=(-4,4,0)$, $\overrightarrow{OL}=(-2,-2,\frac h2)$. Их скалярное произведение равно $(-4)(-2)+4(-2)+0\cdot\frac h2=0$. Следовательно, прямые перпендикулярны.

б) Для угла между прямыми можно взять векторы $\overrightarrow{BL}=(2,-6,\frac h2)$ и $\overrightarrow{SA}=(4,4,-h)$. Пусть $q=h^2$. Тогда квадрат косинуса угла между ними равен

$\cos^2\varphi=\frac{(16+\frac q2)^2}{(40+\frac q4)(32+q)}=\frac{q+32}{q+160}.$

Из условия $\tan\varphi=2\sqrt{\frac25}$, поэтому $\cos^2\varphi=\frac{1}{1+\tan^2\varphi}=\frac5{13}$. Следовательно, $\frac{q+32}{q+160}=\frac5{13}$, откуда $q=48$, то есть $h=4\sqrt3$.

Апофема боковой грани равна $\sqrt{h^2+4^2}=\sqrt{48+16}=8$. Площадь основания — $8^2=64$, а площадь боковой поверхности — $4\cdot\frac12\cdot8\cdot8=128$.

Ответ: а) $BO\perp LO$; б) площадь поверхности пирамиды равна $64+128=192$.