14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $Q$ и $R$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AQ=8QA_1$, $A_1R=RB_1$. Через точки $Q$ и $R$ провели плоскость $\beta$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$. а) Докажите, что плоскость $\beta$ проходит через вершину $C_1$. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\beta$, если все рёбра призмы равны 18.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $Q$ и $R$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$…$ Фото задания

14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $Q$ и $R$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AQ=8QA_1$, $A_1R=RB_1$. Через точки $Q$ и $R$ провели плоскость $\beta$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$. а) Докажите, что плоскость $\beta$ проходит через вершину $C_1$. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\beta$, если все рёбра призмы равны 18.

Accepted Answer

а) Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(18,0,0)$, $A_1=(0,0,18)$, а ось $y$ направим перпендикулярно грани $ABB_1A_1$. Тогда $C_1=(-9,9\sqrt3,18)$.

Из $AQ=8QA_1$ и $AA_1=18$ получаем $QA_1=2$, поэтому $Q=(0,0,16)$. Так как $R$ — середина $A_1B_1$, имеем $R=(9,0,18)$.

Направляющие векторы плоскости через $Q,R,C_1$: $\overrightarrow{QR}=(9,0,2)$ и $\overrightarrow{QC_1}=(-9,9\sqrt3,2)$. Их векторное произведение имеет нулевую координату по оси $y$. Следовательно, нормаль плоскости перпендикулярна нормали грани $ABB_1A_1$, то есть эта плоскость перпендикулярна грани. Значит, плоскость через $Q$ и $R$, перпендикулярная данной грани, проходит и через $C_1$; это и есть $\beta$.

б) Сечение — треугольник $QRC_1$. Его площадь равна половине модуля векторного произведения указанных направляющих векторов:

$S_{QRC_1}=\frac12\left|\overrightarrow{QR}\times\overrightarrow{QC_1}\right|=\frac12\sqrt{(-18\sqrt3)^2+(-36)^2+(81\sqrt3)^2}=\frac{9\sqrt{271}}2$.

Ответ: а) $C_1\in\beta$; б) $\frac{9\sqrt{271}}2$.