15. Решите неравенство \(\frac{x^3-5x^2+8x-4}{9^x+18\cdot3^x-243}\leq0\).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2\).

Положим \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда знаменатель равен \(t^2+18t-243=(t-9)(t+27)\). Поскольку \(t+27>0\), знаменатель обращается в ноль при \(3^x=9\), то есть при \(x=2\), и имеет знак \(x-2\).

При \(x\ne2\) знак дроби определяется выражением \((x-1)/(x-2)\), так как \((x-2)^2\) неотрицателен. Это выражение неположительно при \(1\leq x<2\). Точку \(x=2\) исключаем: исходная дробь там не определена.

Ответ: \([1;2)\).