14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получает штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий промах — на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 11 штрафных очков?

Штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию: первый член равен 2, разность — 0,5.

Если промахов было n, сумма штрафных очков равна:

\(S_n=\frac{n}{2}(2\cdot2+(n-1)\cdot0.5)=11\).

Отсюда \(n(n+7)=44\), откуда \(n=4\). Значит, попаданий было \(20-4=16\).

Ответ: 16 раз.