14. Вычислите удобным способом: а) (254·399 − 145)/(254 + 399·253); б) 1/(3·4) + 1/(4·5) + 1/(5·6) + 1/(6·7).

а) Заметим, что \(145=399-254\):

\[254\cdot399-145=254\cdot399-(399-254)=254\cdot399-399+254.\]

Вынесем общий множитель:

\[254\cdot399-399+254=(254-1)(399+1)=253\cdot400=101200.\]

Знаменатель:

\[254+399\cdot253=101201.\]

Следовательно, \[\frac{254\cdot399-145}{254+399\cdot253}=\frac{101200}{101201}.\]

б) Используем формулу \(\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\):

\[\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}+\frac1{5\cdot6}+\frac1{6\cdot7}=\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right).\]

Сокращаем промежуточные слагаемые:

\[\frac13-\frac17=\frac{7-3}{21}=\frac4{21}.\]

Ответ: а) \(\frac{101200}{101201}\); б) \(\frac4{21}\).