140. Бөлшекті қысқартып, бөлімін иррационалдықтан арылтыңдар: а) (√6 + 3)/(2 + √6); б) (3 − √3)/(√5 − √15); ә) (√10 + 5)/(2 + √10); в) (7 − √35)/(5 − √35); г) (√(xy) − x)/(√(xy) − y), мұндағы x > 0, y > 0; ғ) (25x − y)/(5√(xy) + y), мұндағы x > 0, y > 0.

1. а) Бөлімнің түйіндесіне көбейтеміз:

   \(\dfrac{(\sqrt6+3)(\sqrt6-2)}{(2+\sqrt6)(\sqrt6-2)}=\dfrac{\sqrt6}{2}.\)

2. б) \(\sqrt5-\sqrt{15}=\sqrt5(1-\sqrt3)\), ал \(3-\sqrt3=\sqrt3(\sqrt3-1)\). Сондықтан \(\dfrac{3-\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt{15}}=-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}=-\dfrac{\sqrt{15}}5.\)

3. ә) Түйіндесіне көбейтеміз:

   \(\dfrac{(\sqrt{10}+5)(\sqrt{10}-2)}{(2+\sqrt{10})(\sqrt{10}-2)}=\dfrac{\sqrt{10}}2.\)

4. в) Бөлімнің түйіндесіне көбейтеміз:

   \(\dfrac{(7-\sqrt{35})(5+\sqrt{35})}{(5-\sqrt{35})(5+\sqrt{35})}=\dfrac{2\sqrt{35}}{-10}=-\dfrac{\sqrt{35}}5.\)

5. г) \(\sqrt{xy}-x=\sqrt{x}(\sqrt y-\sqrt x)\), \(\sqrt{xy}-y=-\sqrt y(\sqrt y-\sqrt x)\). Демек, \(\dfrac{\sqrt{xy}-x}{\sqrt{xy}-y}=-\sqrt{\dfrac{x}{y}}\), мұнда бастапқы бөлшек анықталуы үшін \(x\ne y\).

6. ғ) Алымды квадраттар айырымы түрінде жіктейміз:

   \(25x-y=(5\sqrt x-\sqrt y)(5\sqrt x+\sqrt y)\), ал \(5\sqrt{xy}+y=\sqrt y(5\sqrt x+\sqrt y)\). Қысқартқаннан кейін \(5\sqrt{\dfrac{x}{y}}-1\) шығады.

Жауабы: а) \(\frac{\sqrt6}{2}\); б) \(-\frac{\sqrt{15}}5\); ә) \(\frac{\sqrt{10}}2\); в) \(-\frac{\sqrt{35}}5\); г) \(-\sqrt{\frac{x}{y}}\) (\(x\ne y\)); ғ) \(5\sqrt{\frac{x}{y}}-1\).