142. Өрнектің мәнін табыңдар: а) 1/(2 + √5) + 1/(√5 + √6) + 1/(√6 + √7) + 1/(√7 + √8) + 1/(√8 + 3); ә) 2/(3 − √7) − 2/(√7 − √5) + 2/(√5 − √3) − 2/(√3 − 1).

1. а) Әр бөлшектің бөлімін түйіндесіне көбейтеміз: \(\dfrac1{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}\). Мұнда көршілес сандардың айырмасы 1, сондықтан:

   \(\dfrac1{2+\sqrt5}=\sqrt5-2\), \(\dfrac1{\sqrt5+\sqrt6}=\sqrt6-\sqrt5\), \(\dfrac1{\sqrt6+\sqrt7}=\sqrt7-\sqrt6\), \(\dfrac1{\sqrt7+\sqrt8}=\sqrt8-\sqrt7\), \(\dfrac1{\sqrt8+3}=3-\sqrt8\).

   Қосынды қысқарады: \((\sqrt5-2)+(\sqrt6-\sqrt5)+(\sqrt7-\sqrt6)+(\sqrt8-\sqrt7)+(3-\sqrt8)=1.\)

2. ә) Әр бөлшекті рационалдаймыз; квадраттардың айырымы 2-ге тең:

   \(\dfrac2{3-\sqrt7}=3+\sqrt7\), \(\dfrac2{\sqrt7-\sqrt5}=\sqrt7+\sqrt5\), \(\dfrac2{\sqrt5-\sqrt3}=\sqrt5+\sqrt3\), \(\dfrac2{\sqrt3-1}=\sqrt3+1\).

   Сонда \((3+\sqrt7)-(\sqrt7+\sqrt5)+(\sqrt5+\sqrt3)-(\sqrt3+1)=2.\)

Жауабы: а) 1; ә) 2.