140. Равносильны ли следующие неравенства: 1) 2x-1 ≥ 2 и 2(x-1) ≥ 1; 2) (x-1)(x+2) < 0 и x²+x < 2; 3) (x-2)(x+1) < 3x+3 и x-2 < 3; 4) x(x+3) ≥ 2x и x²(x+3) ≥ 2x²?

Решение:

1. 1) 2x-1 ≥ 2 и 2(x-1) ≥ 1
   • Решим первое неравенство: 2x ≥ 3 => x ≥ 3/2.
   • Решим второе неравенство: 2x - 2 ≥ 1 => 2x ≥ 3 => x ≥ 3/2.
   • Так как оба неравенства имеют одинаковое решение, они равносильны.
2. 2) (x-1)(x+2) < 0 и x²+x < 2
   • Решим первое неравенство: x² + x - 2 < 0. Корни квадратного трехчлена: x=-2, x=1. Парабола направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при -2 < x < 1.
   • Решим второе неравенство: x² + x - 2 < 0. Оно совпадает с первым неравенством.
   • Так как оба неравенства имеют одинаковое решение, они равносильны.
3. 3) (x-2)(x+1) < 3x+3 и x-2 < 3
   • Решим первое неравенство: x² - x - 2 < 3x + 3 => x² - 4x - 5 < 0. Корни квадратного трехчлена: x=-1, x=5. Парабола направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при -1 < x < 5.
   • Решим второе неравенство: x < 3 + 2 => x < 5.
   • Решение первого неравенства (-1 < x < 5) не совпадает с решением второго неравенства (x < 5), так как первое неравенство исключает значения x ≤ -1. Следовательно, они не равносильны.
4. 4) x(x+3) ≥ 2x и x²(x+3) ≥ 2x²
   • Решим первое неравенство: x² + 3x ≥ 2x => x² + x ≥ 0 => x(x+1) ≥ 0. Корни: x=0, x=-1. Парабола направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при x ≤ -1 или x ≥ 0.
   • Решим второе неравенство: x³ + 3x² ≥ 2x².
   • x³ + x² ≥ 0 => x²(x+1) ≥ 0. Это неравенство выполняется при x = 0 или x ≥ -1.
   • Решения неравенств (x ≤ -1 или x ≥ 0) и (x = 0 или x ≥ -1) не совпадают полностью. Например, x = -1 удовлетворяет первому неравенству, но не второму. Следовательно, они не равносильны.

Ответ: 1) Да, 2) Да, 3) Нет, 4) Нет.