№ 144 Отрезки AB и CD — диаметры окружности. А) Докажите, что хорды BD и AC равны.

Дано: Окружность с центром O. AB и CD — диаметры.

Доказать: BD = AC.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle OBD \) и \( \triangle OAC \).
2. Поскольку AB и CD — диаметры, они проходят через центр окружности O.
3. Отсюда следует, что OB = OD = OA = OC = R (радиус окружности).
4. Углы \( \angle BOD \) и \( \angle AOC \) являются вертикальными, поэтому \( \angle BOD = \angle AOC \).
5. Теперь у нас есть два треугольника \( \triangle OBD \) и \( \triangle OAC \), у которых равны две стороны (OB = OA, OD = OC) и угол между ними (\( \angle BOD = \angle AOC \)).
6. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники \( \triangle OBD \) и \( \triangle OAC \) равны.
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, BD = AC.

Что и требовалось доказать.