1449. Автомобиль движется прямолинейно и равномерно со скоростью 54 км/ч. Впереди него в том же направлении прямолинейно и равномерно движется мотороллер со скоростью 36 км/ч. В начальный момент времени t₀ = 0 расстояние между ними 18 км. За какое время автомобиль догонит мотороллер? Задачу решите аналитически и графически.

Решение:

Аналитическое решение:

Переведём скорости в м/с для удобства расчётов:

\( v_1 = 54 \text{ км/ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с} \) (скорость автомобиля)

\( v_2 = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с} \) (скорость мотороллера)

Начальное расстояние между ними \( S_0 = 18 \text{ км} = 18000 \text{ м} \).

Скорость сближения автомобиля и мотороллера равна разности их скоростей:

\( v_{сбл} = v_1 - v_2 = 15 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с} = 5 \text{ м/с} \).

Время, за которое автомобиль догонит мотороллер, находится по формуле:

\( t = \frac{S_0}{v_{сбл}} \)

\( t = \frac{18000 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 3600 \text{ с} \).

Переведём время в часы:

\( 3600 \text{ с} = 1 \text{ час} \).

Графическое решение:

Построим графики зависимости пройденного расстояния от времени для автомобиля и мотороллера. Пусть ось абсцисс — время \( t \) (в часах), а ось ординат — расстояние \( S \) (в км).

Мотороллер начинает движение со скоростью \( v_2 = 36 \text{ км/ч} \) и имеет начальное преимущество в \( 18 \text{ км} \). Его уравнение движения:

\( S_2(t) = 18 + 36t \)

Автомобиль движется со скоростью \( v_1 = 54 \text{ км/ч} \) и начинает с \( S = 0 \).

\( S_1(t) = 54t \)

Найдём время \( t \), когда \( S_1(t) = S_2(t) \):

\( 54t = 18 + 36t \)

\( 54t - 36t = 18 \)

\( 18t = 18 \)

\( t = 1 \) час.

Ответ: автомобиль догонит мотороллер через 1 час.