1450. Расстояние между пунктами А и В равно 300 км. Одновременно из обоих пунктов навстречу друг другу выезжают две автомашины. Машина из пункта А движется со скоростью 80 км/ч, а машина из пункта В — со скоростью 60 км/ч. Определите место и время встречи машин. Решите задачу графически.

Решение:

Пусть пункт А будет началом отсчёта (0 км), а пункт В — 300 км.

Скорость машины из пункта А: \( v_A = 80 \text{ км/ч} \).

Скорость машины из пункта В: \( v_B = 60 \text{ км/ч} \).

Расстояние между пунктами: \( S = 300 \text{ км} \).

Графическое решение:

Построим графики зависимостей пройденного расстояния от времени для обеих машин. Ось абсцисс — время \( t \) (в часах), ось ординат — расстояние от пункта А \( x \) (в км).

Машина из пункта А начинает движение из \( x = 0 \) со скоростью \( v_A = 80 \text{ км/ч} \). Её уравнение движения:

\( x_A(t) = 80t \)

Машина из пункта В начинает движение из \( x = 300 \text{ км} \) навстречу машине А, то есть её координата уменьшается. Скорость направлена против оси X, поэтому в уравнение движения вводится отрицательный знак для скорости или отсчёт ведётся от пункта В. Удобнее использовать скорость, направленную в сторону пункта А, как \( v_B = 60 \text{ км/ч} \), но учитывать, что она начинает движение с \( 300 \text{ км} \) и движется к 0.

Уравнение движения машины из пункта В (расстояние от пункта А):

\( x_B(t) = 300 - 60t \)

Чтобы найти время и место встречи, приравняем координаты:

\( x_A(t) = x_B(t) \)

\( 80t = 300 - 60t \)

\( 80t + 60t = 300 \)

\( 140t = 300 \)

\( t = \frac{300}{140} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7} \) часа.

\( t \approx 2.14 \) часа.

Теперь найдём координату встречи, подставив \( t = \frac{15}{7} \) часа в уравнение движения машины А:

\( x_A = 80 \cdot \frac{15}{7} = \frac{1200}{7} \) км.

\( x_A \approx 171.43 \) км.

Проверим по уравнению машины В:

\( x_B = 300 - 60 \cdot \frac{15}{7} = 300 - \frac{900}{7} = \frac{2100 - 900}{7} = \frac{1200}{7} \) км.

Ответ: машины встретятся через \( \frac{15}{7} \) часа (примерно 2.14 часа) на расстоянии \( \frac{1200}{7} \) км (примерно 171.43 км) от пункта А.