145. Разложите на множители: 1) a² - 2ab + b² - 25; 2) x² - 16b² + 8bc - c²; 3) a³x² - ax - 4a³ – 2a; 4) a³ - 27 + a² - 3а; 5) b¹⁰ - 25b⁸ - 40b⁴ - 16; 6) 8a³ - 27b³ + 4a² - 12ab + 9b²

Решение:

1. a² - 2ab + b² - 25

• Сгруппируем первые три члена, это полный квадрат разности: $$(a - b)^2$$
• $$(a - b)^2 - 25$$
• Это разность квадратов $$(a-b)^2 - 5^2$$:
• $$(a - b - 5)(a - b + 5)$$

2. x² - 16b² + 8bc - c²

• Сгруппируем члены, содержащие b и c: $$x^2 - (16b^2 - 8bc + c^2)$$
• Выражение в скобках является полным квадратом разности $$(4b - c)^2$$:
• $$x^2 - (4b - c)^2$$
• Это разность квадратов:
• $$(x - (4b - c))(x + (4b - c))$$
• $$(x - 4b + c)(x + 4b - c)$$

3. a³x² - ax - 4a³ – 2a

• Сгруппируем: $$(a^3x^2 - 4a^3) - (ax + 2a)$$
• Вынесем общие множители: $$a^3(x^2 - 4) - a(x + 2)$$
• Разложим разность квадратов: $$a^3(x - 2)(x + 2) - a(x + 2)$$
• Вынесем общий множитель $$a(x + 2)$$:
• $$a(x + 2)[a^2(x - 2) - 1]$$
• $$a(x + 2)(a^2x - 2a^2 - 1)$$

4. a³ - 27 + a² - 3а

• Сгруппируем: $$(a^3 - 27) + (a^2 - 3a)$$
• Разложим разность кубов $$a^3 - 3^3$$: $$(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$$
• Вынесем общий множитель $$a$$ из второй группы: $$a(a - 3)$$
• $$(a - 3)(a^2 + 3a + 9) + a(a - 3)$$
• Вынесем общий множитель $$(a - 3)$$:
• $$(a - 3)[(a^2 + 3a + 9) + a]$$
• $$(a - 3)(a^2 + 4a + 9)$$

5. b¹⁰ - 25b⁸ - 40b⁴ - 16

• Это выражение не раскладывается на простые множители стандартными методами.

6. 8a³ - 27b³ + 4a² - 12ab + 9b²

• Разложим сумму кубов $$8a^3 - 27b^3$$ как $$(2a)^3 - (3b)^3$$:
• $$(2a - 3b)((2a)^2 + (2a)(3b) + (3b)^2) + (4a^2 - 12ab + 9b^2)$$
• $$(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (4a^2 - 12ab + 9b^2)$$
• Сгруппируем члены иначе: $$(8a^3 + 4a^2) - (27b^3 + 12ab - 9b^2)$$
• Этот пример также не раскладывается на простые множители стандартными методами.