15. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = 1/6 t^3 + 5t + 28, где S — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Решение:

Скорость \( v(t) \) материальной точки является производной от её положения \( S(t) \) по времени \( t \).

Дано: \( S(t) = \frac{1}{6} t^3 + 5t + 28 \).

Найдём производную \( S'(t) = v(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{6} t^3 + 5t + 28 \right) = \frac{1}{6} \cdot 3t^2 + 5 = \frac{1}{2} t^2 + 5 \]

По условию, скорость равна \( 6 \) м/с. Приравниваем \( v(t) \) к \( 6 \):

\[ \frac{1}{2} t^2 + 5 = 6 \]

Решаем уравнение относительно \( t \):

\[ \frac{1}{2} t^2 = 6 - 5 \]

\( \frac{1}{2} t^2 = 1 \)

\[ t^2 = 2 \]

Так как время \( t \) не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

\[ t = \sqrt{2} \]

Ответ: \( \sqrt{2} \) секунд.